【题目】已知函数,.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)若把向右平移个单位得到函数,求在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)最小正周期为(2)单调增区间为(3)最小值为,最大值为1
【解析】
(1)根据正弦的二倍角公式,余弦降幂公式及辅助角公式化简三角函数式,再根据周期公式即可求得最小正周期.
(2)根据正弦函数的图像与性质,即可求得函数的单调递增区间;
(3)先根据三角函数图像平移变换,求得的解析式.再根据正弦函数的图像与性质,即可求得函数在区间上的最小值和最大值.
(1)由二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简可得
由,可得的最小正周期为.
(2)由(1)可知
函数的单调递增区间,由正弦函数的图像与性质可得,
则,
所以函数的单调增区间为;
(3)若把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
则,
由正弦函数的图像与性质可知
故在区间上的最小值为,最大值为1.
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【题目】已知抛物线上点处的切线方程为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设和为抛物线上的两个动点,其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
()求椭圆的方程.
()设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与相交于两点, (两点均不在坐标轴上),且使得直线、的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某学校为了解高三复习效果,从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩,分成6组制成频率分布直方图如图所示:
(1)求的值;并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数;
(2)该学校为制定下阶段的复习计划,从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈,记成绩在的同学人数位,写出的分布列,并求出期望.
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【题目】为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度,某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中,各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查(满分100分),被抽取的观众的评分结果如图所示
(Ⅰ)计算:①甲地被抽取的观众评分的中位数;
②乙地被抽取的观众评分的极差;
(Ⅱ)用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查,记抽取的4人评分不低于90分的人数为,求的分布列与期望;
(Ⅲ)从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.
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