【题目】如图所示,四棱锥S﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BA⊥AC,SA⊥AD,SC⊥CD.
(Ⅰ)求证:AC⊥SB;
(Ⅱ)若AB=AC=SA=3,E为线段BC的中点,F为线段SB上靠近B的三等分点,求直线SC与平面AEF所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由线面垂直的判定定理证明AC⊥平面SAB,即可证得AC⊥SB.
(Ⅱ)以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立坐标系,用向量法求解即可.
(Ⅰ)∵四边形ABCD为平行四边形,∴BA∥CD,
又BA⊥AC,∴CD⊥AC,
又SC⊥CD,AC∩SC=C,∴CD⊥平面SAC,
又SA平面SAC,∴CD⊥SA,又SA⊥AD,CD∩AD=D,
∴SA⊥平面ABCD,AC平面ABCD,∴SA⊥AC,
又BA⊥AC,SA∩BA=A,∴AC⊥平面SAB,
又SB平面SAB,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)以AB、AC、AS为x轴y轴z轴建立如图所示坐标系,
则A(0,0,0),S(0,0,3),C(0,3,0),E(,,0),F(2,0,1),
∴=(,,0),=(2,0,1),=(0,﹣3,3),
设=(x,y,z)为平面AEF的法向量,
,∴,∴,
令x=﹣1,得一个法向量=(﹣1,1,2),
cos<,>===
即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为.
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【题目】如图,在直角三棱柱中,、分别为、的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.
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【题目】①回归分析中,相关指数的值越大,说明残差平方和越大;
②对于相关系数,越接近1,相关程度越大,越接近0,相关程度越小;
③有一组样本数据得到的回归直线方程为,那么直线必经过点;
④是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合;
以上几种说法正确的序号是__________.
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【题目】在一次演唱会上共10 名演员(每名演员都会唱歌或跳舞),其中7人能唱歌,6人会跳舞.
(1)问既能唱歌又会跳舞的有几人?
(2)现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少种选派方法?
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【题目】电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧 | 连续剧播放时长/min | 广告播放时长/min | 收视人次/万人 |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于,广告的总播放时长不少于,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为( )
A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7
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【题目】对函数(其中为实数,),给出下列命题;
①当时,在定义域上为单调递减函数;②对任意,都不是奇函数;③当时,为偶函数;④关于的方程最多有一个实数根,其中正确命题的序号为________,(把所有正确的命题序号写入横线)
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线,的公共点为.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)若点分别为曲线,上的动点,当取最大值时,求四边形的面积.
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