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【题目】如图所示,四棱锥SABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BAACSAADSCCD

Ⅰ)求证:ACSB

Ⅱ)若ABACSA=3,E为线段BC的中点,F为线段SB上靠近B的三等分点,求直线SC与平面AEF所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由线面垂直的判定定理证明AC⊥平面SAB,即可证得ACSB.

(Ⅱ)以ABACASxyz轴建立坐标系用向量法求解即可.

(Ⅰ)∵四边形ABCD为平行四边形,∴BACD

BAAC,∴CDAC

SCCDACSCC,∴CD⊥平面SAC

SA平面SAC,∴CDSA,又SAADCDADD

SA⊥平面ABCDAC平面ABCD,∴SAAC

BAACSABAA,∴AC⊥平面SAB

SB平面SAB,∴ACSB

(Ⅱ)以ABACASxyz轴建立如图所示坐标系,

A(0,0,0),S(0,0,3),C(0,3,0),E,0),F(2,0,1),

=(,0),=(2,0,1),=(0,﹣3,3),

=(xyz)为平面AEF的法向量,

,∴,∴

x=﹣1,得一个法向量=(﹣1,1,2),

cos<>=

即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为

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连续剧

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