Question

5．设数列{a_n}是等差数列，前n项和为S_n，{b_n}是单调递增的等比数列，b₁=2是a₁与a₂的等差中项，a₃=5，b₃=a₄+1，若当n≥m时，S_n≤b_n恒成立，则m的最小值为4．

Answer 1

分析 根据条件，利用方程关系分别求出数列通项公式和前n项和公式，进行比较即可得到结论．

解答 解：∵b₁=2是a₁与a₂的等差中项，
∴a₁+a₂=4，
∵a₃=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=4}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
则a₄=a₃+d=5+2=7，
则S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
则b₃=a₄+17+1=8，
∵b₁=2，
∴公比q²=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}=\frac{8}{2}=4$，
∵{b_n}是单调递增的等比数列，
∴q=2，
则b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
当n=1时，S₁≤b₁成立，
当n=2时，S₂≤b₂成立，
当n=3时，S₃≤b₃不成立，
当n=4时，S₄≤b₄成立，
当n＞4时，S_n≤b_n恒成立，
综上当n≥4时，S_n≤b_n恒成立，
故m的最小值为4，
故答案为：4

点评 本题主要考查等比数列和等差数列通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的计算能力．