Question

已知函数f（x）=x-

1

x

+alnx-1在其定义域上为增函数
（1）求a的取值范围；
（2）当a≥-2时，试给出零点所在的一个闭区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，由于f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x²+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥-（x+

1

x

）_max，运用基本不等式，即可求得右边的最大值；
（2）根据（1）的单调性，及零点存在定理，判断f（1）＜0，f（5）＞0恒成立，即可得到零点存在的区间．

解答： 解：（1）f（x）=x-

1

x

+alnx-1（x＞0）的导数为
f′（x）=1+

1

x2

+

a

x

=

x2+1+ax

x2

，
由于f（x）在其定义域（0，+∞）上为增函数，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即有x²+1+ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥-（x+

1

x

）_max，
由于x+

1

x

≥2，即有-（x+

1

x

）≤-2，
当且仅当x=1取得最大值-2．
则a≥-2；
（2）由（1）可得，当a≥-2时，f（x）在x＞0上递增，
由于f（1）=-1＜0，
f（5）=5-

1

5

+aln5-1
=

19

5

+aln5≥

19

5

-2ln5＞0，
由零点存在定理可得，
当a≥-2时，函数f（x）的零点所在的一个区间为[1，5]．

点评：本题考查函数的导数的运用：判断单调性，考查不等式的恒成立注意转化为求函数的最值，考查零点存在定理及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．