Question

已知椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程．
（2）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若∠AOB是直角，其中O是坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，知，由此能求出椭圆的方程．
（2）由直线l过椭圆的右焦点F（，0），设l的方程为：y=k（x-），联立，得（4k²+1）x²-8k²x+12k²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是直角，利用韦达定理和x₁x₂+y₁y₂=0能求出直线l的方程．
解答：解：（1）∵椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上，
∴，解得b²=1．
∴椭圆的方程为．
（2）∵直线l过椭圆的右焦点F（，0），
∴设l的方程为：y=k（x-），
联立，得（4k²+1）x²-8k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=，
y₁y₂=k（x₁-）•k（x₂-）=k²x₁x₂-（x₁+x₂）+3k²，
∵∠AOB是直角，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-（x₁+x₂）+3k²
=（k²+1）•）-•+3k²
==0，
解得k=．
∴直线l的方程为y=（x-）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、椭圆性质、向量等知识点的合理运用．