Question

在△ABC中，已知2|

AB

|=|

BC

|=4，|

AC

|=3，设O为△ABC的内心，且

AO

=λ

AB

+μ

BC

，则λ+μ=

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有 a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，利用向量的多边形法则可得：a

OA

+b(

OA

+

AB

)+c(

OA

+

AB

+

BC

)=

0

，
化简整理即可得出．

解答： 解：∵O为△ABC内角平分线的交点，令|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a，则有 a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴a

OA

+b(

OA

+

AB

)+c(

OA

+

AB

+

BC

)=

0

，
∴（a+b+c）

AO

=(b+c)

AB

+c

BC

，
∴

AO

=

b+c

a+b+c

AB

+

c

a+b+c

BC

，
∴λ+μ=

b+c

a+b+c

+

c

a+b+c

=

3+2+2

2+3+4

=

7

9

．
故答案为：

7

9

．

点评：本题考查了三角形内角平分线的性质、向量的多边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．