Question

已知函数f（x）=2x²+mx+n，求证|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1．

Answer 1

分析：由条件求得f（1）+f（3）-2f（2）=4．假设|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于1，可以推出-4＜f（1）+f（3）-2f（2）＜4，这与f（1）+f（3）-2f（2）=4 相矛盾，
故假设不成立，命题得证．

解答：解：∵函数f（x）=2x²+mx+n，f（1）=2+m+n，f（2）=8+2m+n，
f（3）=18+3m+n，故有 f（1）+f（3）-2f（2）=4．
假设|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于1，
则-1＜f（1）＜1，-1＜f（2）＜1，-1＜f（3）＜1．
∴-4＜f（1）+f（3）-2f（2）＜4．
这与f（1）+f（3）-2f（2）=4 相矛盾，故假设不成立，
即|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一个不小于1．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为
“否定→推理→否定”．实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．