Question

11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=$\sqrt{3}$，AB=AC=2A₁C₁=2，D为BC中点．
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直线BB₁与面AA₁CC₁所成角
（Ⅲ）求二面角A-CC₁-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁A⊥BC，BC⊥AD，从而BC⊥平面A₁AD，由此能证明平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BB₁与面AA₁CC₁所成角．
（Ⅲ）求出平面CC₁B的法向量，平面ACC₁的法向量利用向量法能求出二面角A-CC₁-B的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC．
∵AB=AC=2A₁C₁=2，D为BC中点，∴BC⊥AD，
∵AA₁∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∵BC?平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），B₁（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
面AA₁CC₁的法向量$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），
设直线BB₁与面AA₁CC₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{B{B}_{1}}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$，
θ=60°，
∴直线BB₁与面AA₁CC₁所成角为60°．
（Ⅲ）C（0，2，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
设平面CC₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}，1$），
平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面二面角A-CC₁-B的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$α=arccos\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-CC₁-B的大小为arccos$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．