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给定椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为 $数学公式$ 的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F₂（ $数学公式$ ，0），其短轴上的一个端点到F₂距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点P（0，m）（m＜0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2 $数学公式$ ，求m的值；
（3）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，当直线l₁，l₂都有斜率时，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

解：（1）由题意可知： $\text{[math]}$ ，a= $\text{[math]}$ ，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆方程为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x²+y²=4．
（2）设直线方程为：y=kx+m
∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为 $\text{[math]}$ ，
∴圆心到直线的距离d= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又 $\text{[math]}$ 得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直线l与椭圆相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
把（*）代入上式得m²=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）设Q（x₀，y₀），直线y-y₀=k（x-x₀），
由（2）可知 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴椭圆”上，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴k₁k₂=-1为定值．
分析：（1）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；
（2）利用点到直线的距离公式、 $\text{[math]}$ 、及直线与椭圆相切的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．
点评：熟练掌握椭圆标准方程及其a、b、c的关系、点到直线的距离公式、 $\text{[math]}$ 、及直线与椭圆相切的性质、“伴椭圆”的定义是解题的关键．

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（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：

=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是

a2+b2

的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(

，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为

．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，求l₁，l₂的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求

•

的取值范围．

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若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x₀，y₀），则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x₀，y₀）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x₀，y₀）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设

=λ1

，

=λ2

，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

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给定椭圆C：