Question

8．设函数$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$．
（I）求函数y=f（x）的最大值；
（II）对于任意的正整数n，求证：$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i{e^i}}}＜\frac{n}{n+1}}$
（III）当-1＜a＜b时，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜m$成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$\frac{1}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{x+1}$，令x=n可得$\frac{1}{{e}^{n}}$＜$\frac{1}{n+1}$，即为$\frac{1}{n{e}^{n}}$＜$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用累加法，即可得证；
（Ⅲ）由题意可得f（b）-mb＜f（a）-ma，即有函数$h（x）=f（x）-mx=\frac{x+1}{e^x}-mx在（{-1，0}）$上是减函数，求出导数h′（x）≤0在（-1，0）恒成立，求出导数，可得最大值，即可得到所求m的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$的导数为$f'（x）=-\frac{x}{e^x}$，
当x＜0，f'（x）＞0，f（x）递增；
x＞0，f'（x）＜0，f（x）递减．
即有x=0处取得最大值，即f（x）≤f（0）=1，
∴f（x）_max=1；
（Ⅱ）证明：由（1）知，$\frac{x+1}{e^x}≤1，令x=n（{n∈{N_+}}）$，
$\frac{1}{e^n}＜\frac{1}{n+1}∴\frac{1}{{n{e^n}}}＜\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
则$\sum_{i=1}^n{\frac{1}{{i{e^i}}}＜（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$；
（Ⅲ）当$-1＜a＜b＜0时，\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＜m?f（b）-mb＜f（a）-ma$，
即函数$h（x）=f（x）-mx=\frac{x+1}{e^x}-mx在（{-1，0}）$上是减函数，$?x∈（{-1，+∞}），h'（x）=-\frac{x}{e^x}-m≤0，即m≥-\frac{x}{e^x}$，
$u（x）=-\frac{x}{e^x}，u'（x）=\frac{x-1}{e^x}$，
当x∈（-1，1），u′（x）＜0，u（x）递减；
x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）递增．
则$u{（x）_{min}}=u（1）=-\frac{1}{e}，x→+∞，u（x）=-\frac{x}{e^x}→0$，
u（x）＜u（-1）=e，
所以m≥e，即m的最小值为e．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用累加法和裂项相消求和，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性和导数，考查运算能力，属于中档题．