Question

直线L经过P（5，5），其斜率为k，L与圆x²+y²=25相交，交点分别为A，B．
（1）若|AB|=4

5

，求k的值；         
（2）若|AB|＜4

5

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用点斜式求得直线L的方程，利用弦长公式求得弦心距d=

5

．再由点到直线的距离公式求得弦心距d=

|0-0+5-5k|

k2+1

，从而求得k的值．
（2）由于 |AB|＜4

5

，半径为r=5，可得弦心距d＞

52-(2 5 )2

，即

|0-0+5-5k|

k2+1

＞

5

，由此求得k的范围．再由弦心距d小于半径，再求得k的范围．再把这两个k的范围取交集，可得所求的k的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得，直线L的方程为 y-5=k（x-5），即 kx-y+5-5k=0．
再根据半径为r=5，半弦长为2

5

，可得弦心距d=

52-(2 5 )2

=

5

．
再由点到直线的距离公式可得 弦心距d=

5

=

|0-0+5-5k|

k2+1

，解得 k=2，或 k=

1

2

．
（2）由于 |AB|＜4

5

，半径为r=5，可得弦心距d＞

52-(2 5 )2

=

5

，
即 d=

|0-0+5-5k|

k2+1

＞

5

，化简可得2k²-5k+2＞0，解得k＞2，或 0＜k＜

1

2

．
再由弦心距 d=

|0-0+5-5k|

k2+1

＜r=5，求得k＞0．
综上可得，k∈(0，

1

2

)∪(2，+∞)．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，注意利用半径、弦心距、半弦长之间的关系，属于中档题．