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【题目】已知椭圆Cab>0)的两个焦点分别为F1F2,离心率为,过F1的直线l与椭C交于MN两点,且MNF2的周长为8.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线ykxb与椭圆C分别交于AB两点,且OAOB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.

【答案】(1); (2)见解析.

【解析】

(1)根据三角形周长为8,结合椭圆的定义可知利用,即可求得的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论当直线斜率斜存在时,联立得到关于的一元二次方程利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得的关系利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.

(1)由题意知,4a=8,则a=2,

由椭圆离心率,则b2=3.

∴椭圆C的方程

(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).

又A,B两点在椭圆C上,

∴点O到直线AB的距离

当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b.设A(x1,y1),B(x2,y2

联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.

由已知△>0,x1+x2=,x1x2=

由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,

整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,

∴7b2=12(k2+1),满足△>0.

∴点O到直线AB的距离为定值.

综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.

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