【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据三角形周长为8,结合椭圆的定义可知,,利用,即可求得和的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线斜率斜存在时,联立,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系,利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.
(1)由题意知,4a=8,则a=2,
由椭圆离心率,则b2=3.
∴椭圆C的方程;
(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).
又A,B两点在椭圆C上,
∴,
∴点O到直线AB的距离,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b.设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.
由已知△>0,x1+x2=,x1x2=,
由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
∴ .
∴7b2=12(k2+1),满足△>0.
∴点O到直线AB的距离为定值.
综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.
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【题目】下面是追踪调查200个某种电子元件寿命(单位:)频率分布直方图,如图:
其中300-400、400-500两组数据丢失,下面四个说法中有且只有一个与原数据相符,这个说法是( )
①寿命在300-400的频数是90;
②寿命在400-500的矩形的面积是0.2;
③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为:
④寿命超过的频率为0.3
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【题目】如图所示,图①是棱长为1的小正方体,图②,③是由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,由上而下分别将第1层,第2层,…,第层的小正方体的个数记为,解答下列问题:
(1)按照要求填表:
1 | 2 | 3 | 4 | … | |
1 | 3 | 6 | _ | … |
(2)__________.
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【题目】已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,
(1)求证:函数在(-∞,0)上也是增函数;
(2)如果f()=1,解不等式-1<f(2x+1)≤0.
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【题目】给出下列两组数据:甲:12,13,11,10,14.乙:10,17,10,13,10.
(1)分别计算两组数据的平均差,并根据计算结果判断哪组数据波动大.
(2)分别计算两组数据的方差,并根据计算结果判断哪组数据波动大.
(3)以上两种判断方法的结果是否一致?
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与曲线分别交于第一象限内的,两点,求.
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【题目】若AC⊥BC,AC=BC=1,点P是△ABC内一点,则的取值范围是( )
A. (﹣,0) B. (0,) C. (﹣,) D. (﹣1,1)
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