Question

【题目】已知函数 ． （I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（I） ，定义域为（0，+∞）． ∵ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；
（Ⅱ）∵ ，
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．
因为x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．
，解得 ．
综合①②③知： ．
（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时， ，即 ．
令 ，则有 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴ ，即n=1时命题成立．
设当n=k时，命题成立，即 ．
∴n=k+1时， ．
根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时， ，即 ．
令 ，则有 ，
则有 ，即n=k+1时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立
【解析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得 ，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分 a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；
（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时， ，再构造函数，令 ，有 ，从而 ，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1 ，成立；设当n=k时， ，再去证明n=k+1时， 即可（需用好归纳假设）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．