已知点A,B分别是射线l1:y=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,且△OAB的面积为定值2.
(I)求线段AB中点M的轨迹C的方程;
(II)过点N(0,2)作直线l,与曲线C交于不同的两点P,Q,与射线l1,l2分别交于点R,S,若点P,Q恰为线段RS的两个三等分点,求此时直线l的方程.
分析:(I)通过设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),建立M与AB的关系,继而转化为x与y的关系,整理即可得到所以点M的轨迹方程.
(II)根据题意,因为l斜率存在,故设出直线方程.根据xP,xQ>0以及由于P,Q为RS的三等分点分别得出一个等式,最后通过两个等式分别化简即可得出l的斜率.此时,直线方程即可得到.
解答:解:(I)由题可设A(x
1,x
1),B(x
2,-x
2),M(x,y),其中x
1>0,x
2>0.
则
∵△OAB的面积为定值2,
∴
S△OAB=|OA|•|OB|=(x1)(x2)=x1x2=2(1)
2-(2)
2,消去x
1,x
2,
得:x
2-y
2=2.
由于x
1>0,x
2>0,
∴x>0,
所以点M的轨迹方程为x
2-y
2=2(x>0).
(II)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2.
由
消去y得:(1-k
2)x
2-4kx-6=0,
设点P、Q、R、S的横坐标分别是x
P、x
Q、x
R、x
s,
∴由x
P,x
Q>0得
| 1-k2≠0 | △=16k2+24(1-k2)>0 | xP+xQ=>0 | xPxQ=>0 |
| |
解之得:
-<k<-1.
∴
|xP-xQ|==.
由
消去y得:
xR=,
由
消去y得:
xS=,
∴
|xR-xS|=.
由于P,Q为RS的三等分点,
∴|x
R-x
S|=3|x
P-x
Q|.
解之得
k=-.
经检验,此时P,Q恰为RS的三等分点,
故所求直线方程为
y=-x+2.
点评:本题考查直线方程,直线与圆的位置关系,以及轨迹方程的运算.通过已知题意分别把条件化为等式然后进行运算,本题为难题