Question

6．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=4，cosA=$\frac{3}{4}$，sinB=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，c＞4．
（1）求b；
（2）求证：C=2A．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理即可求b的值．
（2）由余弦定理可解得c，由正弦定理可得sinC，从而可求sinC=sin2A，结合两角的范围可得C=2A，或C+2A=π（A≠B故舍去）即可得证．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵cosA=$\frac{3}{4}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{4×\frac{5\sqrt{7}}{16}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$=5．
（2）证明：∵由（1）可得：a=4，cosA=$\frac{3}{4}$，b=5，
∴由余弦定理可得：16=2+c²-2×$b×c×\frac{3}{4}$，整理可得：2c²-15c+18=0，
∴解得：c=6，或$\frac{3}{2}$（c＞4，故舍去），
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{7}}{4}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$；
又∵sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴可得：sinC=sin2A，
∵C∈（0，π），2A∈（0，π），
∴C=2A，或C+2A=π（A≠B故舍去）．
∴C=2A，得证．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．