分析 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA,由正弦定理即可求b的值.
(2)由余弦定理可解得c,由正弦定理可得sinC,从而可求sinC=sin2A,结合两角的范围可得C=2A,或C+2A=π(A≠B故舍去)即可得证.
解答 (本题满分为12分)
解:(1)∵cosA=$\frac{3}{4}$,可得:sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∴由正弦定理可得:b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{4×\frac{5\sqrt{7}}{16}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$=5.
(2)证明:∵由(1)可得:a=4,cosA=$\frac{3}{4}$,b=5,
∴由余弦定理可得:16=2+c2-2×$b×c×\frac{3}{4}$,整理可得:2c2-15c+18=0,
∴解得:c=6,或$\frac{3}{2}$(c>4,故舍去),
∴由正弦定理可得:sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{7}}{4}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$;
又∵sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$,
∴可得:sinC=sin2A,
∵C∈(0,π),2A∈(0,π),
∴C=2A,或C+2A=π(A≠B故舍去).
∴C=2A,得证.
点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{8}{3}+2π$ | B. | $\frac{8}{3}+π$ | C. | 4+2π | D. | 4+π |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,$\frac{1}{2}$) | B. | (0,1) | C. | (0,+∞) | D. | [1,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{5}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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