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    （2009•崇明县二模）设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-
    		2
    ），且其右焦点到直线y-x-2
    		2
    =0    的距离为3．
    （1）求椭圆C的轨迹方程；
    （2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（
    1
    2
    ，0    ），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
    （3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．
    分析：（1）由c=
    		2
    ，a=2，能求出椭圆C的标准方程．
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
    AB
    =(x2-x1，y2-y1)    ，
    P0M
    =(
    1
    2
    -x0，-y0)    ，由于
    AB
    ⊥
    P0M
    ，所以(x2-x1)(
    1
    2
    -x0)+(y2-y1)(-
    y
     
    0
    )=0    ，则x12+2y12，x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
    另解：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2），
    y=kx+b
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1
    消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0，x0=
    x1+x2
    2
    =
    -2kb
    2k2+1
    ，y0=
    y1+y2
    2
    =
    b
    2k2+1
    ，直线AB的中垂线方程为y-
    b
    2k2+1
    =-
    1
    k
    (x-
    2kb
    2k2+1
    )    ．由此能导出“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0），
    AB
    =(x2-x1，y2-y1)    ，
    P0M
    =(t-x0，-y0)
    由于
    AB
    ⊥
    P0M
    ，所以（x2-x1）（t-x0）+（y2-y1）（-y0）=0，则x12+2y12①x22+2y22．所以（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0．由此能导出当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
    解答：解：（1）∵c=
    		2
    ，a=2
    ∴椭圆C的标准方程：
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1
    （2）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
    AB
    =(x2-x1，y2-y1)    ，
    P0M
    =(
    1
    2
    -x0，-y0)
    由于
    AB
    ⊥
    P0M
    ，所以(x2-x1)(
    1
    2
    -x0)+(y2-y1)(-
    y
     
    0
    )=0    （Ⅰ）
    则x12+2y12①x22+2y22②．
    由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
    即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
    x0=
    x1+x2
    2
    y0=
    y1+y2
    2

    由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=1
    因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
    解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P0（x0，y0）A（x1，y1）B（x2，y2）
    y=kx+b
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1
    消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-4=0x0=
    x1+x2
    2
    =
    -2kb
    2k2+1
    ，y0=
    y1+y2
    2
    =
    b
    2k2+1

    直线AB的中垂线方程为y-
    b
    2k2+1
    =-
    1
    k
    (x-
    2kb
    2k2+1
    )
    把点M(
    1
    2
    ，0)    代入得0-
    b
    2k2+1
    =-
    1
    k
    (
    1
    2
    -
    2kb
    2k2+1
    )
    可知
    kb
    2k2+1
    =-
    1
    2

    所以Q的横坐标x0=
    x1+x2
    2
    =
    -2kb
    2k2+1
    =1
    即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
    （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），中点为P0（x0，y0）
    AB
    =(x2-x1，y2-y1)    ，
    P0M
    =(t-x0，-y0)
    由于
    AB
    ⊥
    P0M
    ，所以（x2-x1）（t-x0）+（y2-y1）（-y0）=0（Ⅰ）
    则x12+2y12①x22+2y22②．
    由①②两式相减得：x12-x22+2y12-2y22=0
    即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0（Ⅱ）
    x0=
    x1+x2
    2
    y0=
    y1+y2
    2

    由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x0=2t-2＜2t＜2
    因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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    -2
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    lim
    n→∞
    an-2bn
    2an+bn
    =
    1
    2
    1
    2
    ．

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    （2009•崇明县二模）设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，-
    		2
    ），且其右焦点到直线y-x-2
    		2
    =0    的距离为3．
    （1）求椭圆C的轨迹方程；
    （2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（
    1
    2
    ，0    ），求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
    （3）根据解决问题（2）的经验与体会，请运用类比、推广等思想方法，提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论，并加以解决．（本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值）

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