Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．

（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1．

Answer 1

【答案】（1） 见解析（2）见解析

【解析】

（1）欲证CD⊥平面A1ABB1，可先证平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，满足根据面面垂直的性质；

（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE．根据中位线可知DE∥AC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，满足定理所需条件．

（1）证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，

∴平面ABC⊥平面A1ABB1．

∵AC=BC，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB

∴CD⊥平面A1ABB1．

（2）证明：连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1．∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．