Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log₂（x+1）．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）若f（a-1）-f（3-a）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

解析：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log₂（x+1）
∴f（0）=0…（2分）
f（-1）=f（1）=1…（4分）
（2）令x＜0，则-x＞0f（-x）=log₂（-x+1）=f（x）
∴x＜0时，f（x）=log₂（-x+1）…（8分）
∴…（10分）
（3）∵f（x）=log₂（x+1）在[0，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．
由于f（a-1）＜f（3-a）
∴|a-1|＜|3-a|…（14分）
∴a＜2…（16分）
分析：（1）根据f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=log₂（x+1）代值即可求解；
（2）设x＜0，则-x＞0代入已知解析式可求解；
（3）利用已证的函数性质把不等式转化为|a-1|＜|3-a|来求解．
点评：本题为函数的性质的应用，正确运用函数的奇偶性，单调性以及数形结合思想的运用时解决问题的关键，属基础题．