Question

已知一个高度不限的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=4，BC=5，CA=6，点P是侧棱AA₁上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE，给出下列结论：
①△ADE是直角三角形；
②△ADE是等边三角形；
③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．
其中有可能成立的结论的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：本题考察在空间点线面的位置关系，在直三棱柱中，数形结合，作图求解，①和②找出一个例子即可证明其存在性，③需分类讨论，利用直三棱柱的性质以及底面三边长AB=4，BC=5，CA=6条件判断．

解答： 解；如图，做直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=4，BC=5，CA=6，
（1）不妨取AD=6，AE=10，DE=8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；
（2）不妨令AD=AE=DE=a（a＞6），则△ADE是等边三角形，②可能成立；
（3）假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，
当A为直角顶点时，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，PA⊥底面ABC，则 E，D分别与C，B重合，此时，∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立，
当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知则∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立，
当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA═A，EP?平面ACC₁A₁，EA?平面ACC₁A₁，
则平面ACC₁A₁与平面BCC₁B₁垂直，则直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB═90°，与题意矛盾，假设不成立．
综上③错误．
故选：C．

点评：本题重在考察空间想象力以及逻辑推理能力，推理依据为条件的化简．在底面三角形ABC中，AB=4，BC=5，CA=6，则∠B最大，由余弦定理可得其为锐角，则三角形ABC为锐角三角形，这是解题的中关键之一；其二是利用直棱柱的背景推理．