Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.

（1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围；

（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）．

【解析】

试题消去参数把曲线的参数方程化为普通方程，利用公式把曲线的极坐标方

程化为直角坐标方程，利用数形结合的思想可以得出曲线有一个公共点时的的范围；（2）直线

N:，设M上点为，，则 ，由此可求

得最小值．

试题解析：对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线是抛物线的一部分； 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线． （2分）

（1）若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得 ，求得．综合可求得的取值范围是：或． （6分）

（2）当时，直线N:，设M上点为，，则

，

当时取等号，满足，所以所求的最小距离为． （10分）