Question

如图所示，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

(1)求证：CC₁⊥BD;

(2)当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？并加以证明.

Answer 1

思路解析：在平行六面体中，通常以同一顶点上三条棱所在的直线的方向向量为基向量，建立空间向量基底.

(1)证明：取=a,=b,=c为空间的一个基底，设菱形的边长为a.

∵=a-b，∴·=c·a-c·b＝|c||a|cos〈c,a〉-|c||b|cos〈c,b〉=|c|acos60°-|c|acos60°=0.

∴⊥.∴⊥.

(2)设=λ(λ＞0)，即||=λ||时，能使A₁C⊥平面C₁BD.

∵C₁D平面BC₁D,BD平面BC₁D,∴A₁C⊥C₁D且A₁C⊥BD.

∴·=0且·=0.

∵=-(a+b+c), =a-c，〈a,b〉=〈b,c〉=60°,|a|=|b|=a，

∴·=-(a+b+c)·(a-c)=-a²-aacos60°+a·cos60°+

∴3λ²-λ-2=0.∵λ＞0,∴λ=1.

当λ=1时，

·＝-(a+b+c)·(a-b)=-a²+a²-aacos60°+aacos60°=0，

∴⊥.∴A₁C⊥BD.

同理，当λ=1时，⊥,即A₁C⊥BC₁.

由上述证明过程知当时，能使A₁C⊥平面C₁BD.

方法归纳  向量法解决线面垂直问题时，通常转化为此直线的方向向量垂直于平面内两不共线的向量问题.