Question

（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．
（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；
（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．

Answer 1

解：（1）若a=1，因为a，b，c是互不相等的正数，所以q＞0且q≠1．
由已知，a，b，c是首项为1，公比为q的等比数列，则b=q，c=q²，
当插入的一个数位于b，c之间，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d得2q²-3q+2=0，
因为q≠1，所以q=2．
（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．
若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，则，
于是，2b-2a=c-b，q²-3q+2=0，解得q=2．
若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，则，
于是，2c-2b=b-a，解得（不合题意，舍去）．
若a，b之间和b，c之间各插入2个数，则，b-a=c-b，解得q=1（不合题意，舍去），
综上，a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数．
（3）设所构成的等差数列的公差为d，
由题意可得，b=a+（s+1）d，，又c=b+（t+1）d，，
所以，，即，因为q≠1，所以．
所以，当q＞1，即a＜b＜c时，s＜t；当0＜q＜1，即a＞b＞c时，s＞t．
分析：（1）若a=1，设由4个数构成的等差数列的公差为d，则，消去d，求得q的值．
（2）设所构成的等差数列的公差为d，由题意，d＞0，共插入4个数．若在a，b之间插入1个数，在b，c之间插入3个数，求得q的值；若在a，b之间插入3个数，在b，c之间插入1个数，求得q的值；若a，b之间和b，c之间各插入2个数，求得q的值，综合可得结论．
（3）设所构成的等差数列的公差为d，由题意可得，因为q≠1，所以，分q＞1和 0＜q＜1两种情况，分别得出结论．
点评：本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式，等比数列的定义、性质以及通项公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．