Question

求下列极限：

(1)

(2)

Answer 1

分析：(1)当n无限增大时,的分子、分母中都含无穷多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此,需要先将分子、分母化为含有有限多项的算式,然后再用极限的运算法则求极限.而所有数列的极限最终通过C=C(常数), =0,qⁿ=0(|q|＜1)来解决.

(2)如果把x=-2直接代入,分子、分母均为0,即分式是“”型,极限不能确定,所以不能利用简单的代入法来求极限,应先把分子、分母因式分解,约去分子、分母的公因式(x+2),然后再求极限.

解：(1)

=

=

=

因为1＜|a|＜|b|,

所以||＜1,||＜1.

所以原式=1-b[]1-a·0-0[]0-1=0.

(2)

=

=

=

点评：对于有限项数列(函数)的和、差、积、商的形式,如果每一项都有极限,可直接使用数列(函数)极限的运算法则求解；对不能直接使用数列(函数)极限运算法则的,可通过适当的变形,转化成常见数列(函数)极限的形式,再通过极限的运算法则求解.常见的变形思路和技巧是:

(1)对“”型,通常将分子、分母同除以增得“最快”的单项；

(2)对“∞-∞”型,通常将分子、分母同乘以“∞+∞”,进行分子有理化后,再求极限；

(3)对“”型,通常将分子、分母进行因式分解,以约去使分子、分母为零的因式.