Question

4．在△ABC中，已知tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$．
（1）若△ABC最大边的长为$\sqrt{17}$，求最小边的长；
（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用tanC=-tan（A+B）=-1，求出内角C的大小，可得AB=$\sqrt{17}$，BC为所求，求出sinA，再利用正弦定理即可求出最小边的边长．
（2）由已知及（1）可得sinB=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由正弦定理可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，解得R的值，从而可求b=6$\sqrt{2}$，a=4，利用余弦定理即可求得BD的值．

解答 解：（1）∵C=π-（A+B），tanA=$\frac{1}{4}$，tanB=$\frac{3}{5}$，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}×\frac{3}{5}}$=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=$\frac{3π}{4}$；
∴△ABC最大边为AB，且AB=$\sqrt{17}$，最小边为BC，
由tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{4}$，sin²A+cos²A=1且A∈（0，$\frac{π}{2}$），得sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
∵$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，
∴BC=AB•$\frac{sinA}{sinC}$=$\sqrt{2}$．
即最小边的边长为$\sqrt{2}$．
（2）由tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{3}{5}$，sin²B+cos²B=1且B∈（0，$\frac{π}{2}$），得sinB=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$，
由（1）可得：sinA=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵由已知及正弦定理可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，
整理可得：R²×$\frac{\sqrt{17}}{17}$×$\frac{3\sqrt{34}}{34}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，解得：R=2$\sqrt{17}$，b=AC=2RsinB=6$\sqrt{2}$，a=2RsinA=4，
∴由余弦定理可得：BD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}b）^{2}-2×a×\frac{1}{2}b×cosC}$=$\sqrt{16+18+24}$=$\sqrt{58}$．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题．