Question

设函数f（x）=x²+2ax-a-1，x∈[0，2]，a为常数．
（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；
（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）-m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得函数开口方向及对称轴，分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析函数的单调性后，可得最值；
（2）若g（a）-m≤0恒成立，则m不小于g（a）的最大值，分析函数g（a）的单调性求阳其最值可得答案．

解答：解：（1）对称轴x=-a
①当-a≤0⇒a≥0时，
f（x）在[0，2]上是增函数，x=0时有最小值f（0）=-a-1…（1分）
②当-a≥2⇒a≤-2时，
f（x）在[0，2]上是减函数，x=2时有最小值f（2）=3a+3…（1分）
③当0＜-a＜2⇒-2＜a＜0时，
f（x）在[0，2]上是不单调，x=-a时有最小值f（-a）=-a²-a-1…（2分）
∴，g(a)=

-a-1 -a2-a 3a+3

a≥0 -1 -2＜a＜0 a≤-2

…（2分）
（2）存在，
由题知g（a）在(-∞，-

1

2

]是增函数，在[-

1

2

，+∞)是减函数
∴a=-

1

2

时，g(a)max=-

3

4

，…（2分）
g（a）-m≤0恒成立
⇒g（a）_max≤m，
∴m≥-

3

4

…（2分），
∵m为整数，
∴m的最小值为0…（1分）

点评：本题考查的知识点是函数的恒成立问题，函数解析式的求法，其中（1）中分类讨论思想，（2）中的转化思想是高中数学中最重要的数学思想，一定要熟练掌握