Question

6．已知五边形ABCDE由直角梯形ABCD与直角△ADE构成，如图1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，将梯形ABCD沿着AD折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅰ）在线段CE上存在点M，且$\frac{EM}{CE}$=$\frac{1}{3}$，证明BM∥平面ADE；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，推导出四边形ABMF是平行四边形，由此能证明BM∥平面ADE．
（Ⅱ）以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-CE-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，
∵$\frac{EM}{CE}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{MF}{CD}=\frac{1}{3}$，
由题意知$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{3}$，AB∥CD，
∴AB$\underset{∥}{=}$MF，∴四边形ABMF是平行四边形，
∴BM∥AF，又BM?平面ADE，AF?平面ADE，
∴BM∥平面ADE．
解：（Ⅱ）∵AE⊥DE，∴以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，
过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则AD=CD=3，DE=$\frac{3}{2}$，
由AD=2DE，AE⊥DE，知∠DAE=30°，
∴AE=AD$•cos30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴C（$\frac{3}{2}，0，3$），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=\frac{3}{2}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，-1），
平面DCE的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{139}}{139}$，
由图形得二面角B-CE-D的平面角是钝角，
∴二面角B-CE-D的平面角的余弦值为-$\frac{2\sqrt{139}}{139}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．