【题目】如图所示,在中, 的中点为,且,点在的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆与边,边的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴, 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线于两点,且以为直径的圆经过点,求面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件运用椭圆的定义进行分析探求;(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解:
(Ⅰ)依题意得,设动圆与边的延长线相切于,与边相切于, 则
所以
所以点轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线的方程为.
由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线斜率存在且不为,所以可设直线
由得,,同理可得: ,;
所以,
又,所以令,
则且,所以
又,所以,
所以,
所以,所以,
所以面积的取值范围为.
【法二】
依题意得直线斜率不为0,且直线不过椭圆的顶点,则可设直线: ,且。
设,又以为直径的圆经过点,则,所以
由得,则
且,所以
又
代入①得: ,所以,
代入②得: 恒成立所以且.
又;
点到直线的距离为,
所以
(Ⅰ)当时, ;
(Ⅱ)当且时,
,
又,当且仅当时取“”,所以,
所以,所以,
所以,所以;
综合(1),(2)知.
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【题目】已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 点,点(与不重合)在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证: (其中为坐标原点).
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【题目】回答下列问题
(1)已知圆C的方程为x2+y2=4,直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点.若|AB|=2 ,求直线l的方程;
(2)设直线l的方程为(a+1)x+y﹣2﹣a=0(a∈R).若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
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【题目】已知: 、 、 是同一平面上的三个向量,其中 =(1,2).
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐标.
(2)若| |= ,且 +2 与2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角θ
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【题目】已知点、,动点满足,设动点的轨迹为曲线,将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半,横坐标不变,得到曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)是曲线上两点,且, 为坐标原点,求面积的最大值.
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【题目】我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强,几乎达到100%,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间r(小时)之间近似满足如图所示的曲线
(1)写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f(x);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 微克时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间是多长?
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