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    若椭圆E1：
    x2
    a
    2
    1
    +
    y2
    b
    2
    1
    =1    和椭圆E2：
    x2
    a
    2
    2
    +
    y2
    b
    2
    2
    =1    满足
    a2
    a1
    =
    b2
    b1
    =m(m＞0)    ，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
    （Ⅰ）求过（2，
    		6
    )    且与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    相似的椭圆的方程；
    （Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
    ①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
    ②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
    分析：（Ⅰ）设出与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    相似的椭圆的方程为：
    x2
    a
    2
     
    +
    y2
    b
    2
     
    =1    ，结合题目条件可求得a2=16，b2=8；
    （Ⅱ）①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，不存在时可求得点P的坐标，存在时设出直线l的方程为：y=kx，P（x，y），由A（x1，y1），B（x2，y2）则
    y1=kx1
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    2
    =1
    ，从而可得
    x
    2
    1
    =
    4
    1+2k2
    y
    2
    1
    =
    4k2
    1+2k2
    ，于是有：
    |OA|=
    2
    		1+k2
    		1+2k2
    ，同理|OB|=
    4
    		1+k2
    		1+2k2
    ，又点P在l上，则k=
    y
    x
    ，代入即可求得P点的轨迹方程；
    ②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=4，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=4+
    4
    1+2k2
    ，从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．
    解答：解：（Ⅰ）设与
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    相似的椭圆的方程
    x2
    a
    2
     
    +
    y2
    b
    2
     
    =1    ．
    则有
    2
    a
    =
    		2
    b
    4
    a2
    +
    6
    b2
    =1
    …（3分）
    解得a2=16，b2=8．
    所求方程是
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    ．…（4分）
    （Ⅱ）  ①当射线l的斜率不存在时A(0，±
    		2
    )，B(0，±2
    		2
    )    ，
    设点P坐标P（0，y0），则y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）
    当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
    由A（x1，y1），B（x2，y2）则
    y1=kx1
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    2
    =1

    得
    x
    2
    1
    =
    4
    1+2k2
    y
    2
    1
    =
    4k2
    1+2k2

    ∴|OA|=
    2
    		1+k2
    		1+2k2
    同理|OB|=
    4
    		1+k2
    		1+2k2
    …（7分）
    又点P在l上，则k=
    y
    x
    ，且由x2+y2=
    8(1+k2)
    1+2k2
    =
    8(1+
    y2
    x2
    )
    1+2
    y2
    x2
    =
    8(x2+y2)
    x2+2y2
    ，
    即所求方程是
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．
    又∵（0，±2）适合方程，
    故所求椭圆的方程是
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    ．…（9分）
    ②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=
    		2
    •2
    		2
    =4    ，当l的斜率存在时，|OA|•|OB|=
    8(1+b2)
    1+2k2
    =4+
    4
    1+2k2
    ，
    ∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
    综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的标准方程，消参法求点的轨迹，难点在于直线与椭圆的综合分析与应用，思维深刻，运算复杂，难度大，属于难题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴长为2
    		2
    ，离心率为e1=
    		2
    2
    ，椭圆C2与C1有共同的短轴．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）若C2与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e2的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E1方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C． 
    （Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
    （Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
    1
    2
    ，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
    （Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
    k1
    k2
    =
    b2
    a2
    时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E1：
    x2
    10
    +
    2y2
    5
    =1     E2：
    x2
    a2
    +
    2y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ．E1与E2有相同的离心率，过点F（-
    		3
    ，0    ）的直线l与E1，E2依次交于A，C，D，B四点（如图）．当直线l过E2的上顶点时，直线l的倾斜角为
    π
    6
    ．
    （1）求椭圆E2的方程；
    （2）求证：|AC|=|DB|；
    （3）若|AC|=1，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xoy（O为坐标原点）中，椭圆E1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的两个焦点在圆E2：x2+y2=a+b上，且椭圆的离心率是
    		3
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E1和圆E2的方程；
    （Ⅱ）是否存在经过圆E2上的一点P（x0，y0）的直线l，使l与圆E2相切，与椭圆E1有两个不同的交点A、B，且
    OA
    •
    OB
    =3？若存在，求出点P的横坐标x0的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴长为2
    		2
    ，离心率为e1=
    		2
    2
    ，椭圆C2与C1有共同的短轴．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）若C2与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e2的取值范围．

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