Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A₁BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A₁-QC₁D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A₁BC平行．
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA₁C₁C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥A₁-QC₁D的体积 ==••DE，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A₁BC内，而BC在平面A₁BC内，
故直线l与平面A₁BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分别是线段BC，B₁C₁的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC-A₁B₁C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA₁C₁C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．
∵===1，
∴三棱锥A₁-QC₁D的体积 ==••DE=×1×=．
点评：本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．