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已知抛物线f(x)=2x2-x上一点P(3,f(3))及附近一点P′(3+△x,f(3+△x)),则割线PP′的斜率为kPP′=
f(3+△x)-f(3)△x
=
2△x+11
2△x+11
,当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的斜率为
11
11
分析:把3+△x和3代入f(x)=2x2-x,再代入公式KPP=
f(3+△x)-f(3)
△x
整理后即可;求点P处切线的斜率,可直接把KPP=
f(3+△x)-f(3)
△x
求△x→0的极限值.
解答:解:因为f(x)=2x2-x,
则割线PP′的斜率为kPP′=
f(3+△x)-f(3)
△x
=
2(3+△x)2-(3+△x)-(2×32-3)
△x

=
18+12△x+2(△x)2-3-△x-18+3
△x

=
2(△x)2+11△x
△x
=2△x+11.
当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的斜率为:
lim
△x→0
(2△x+11)=11

故答案分别为2△x+11,11.
点评:本题考查了函数变化率,考查了导数的概念与其几何意义,函数在曲线上某点处的导数值,就是函数图象在该点处的切线的斜率.此题是基础的概念题.
练习册系列答案
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14
与直线y=x相切于点A(1,1).
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.

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f(3+△x)-f(3)△x
=
2△x+11
2△x+11
,当△x趋近于0时,割线趋近于点P处的切线,由此可得到点P处切线的一般方程为
11x-y-18=0
11x-y-18=0

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