Question

设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为，左焦点F₁到直线l：的距离等于长半轴长．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）由已知，可得F₁（-a，0），
由F₁到直线l的距离为a，所以，
解得a=2，所以c=1，b²=a²-c²=3，得b=，
所以所求椭圆C的方程为；
（II）由（I）知F₂（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因为l过点F₂，所以△＞0恒成立，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=，
所以MN中点（，），
当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，
当k≠0时MN中垂线方程为y+=-，
令y=0，得m==，
因为，所以，可得0＜m＜，
综上可知实数m的取值范围是[0，）．
分析：（I）由离心率为得，所以F₁（-a，0），由F₁到直线l的距离为a，所以解得a，从而得c，由b²=a²-c²得b；
（II）由（I）知F₂（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，易知恒有△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理及中点坐标公式可得MN中点的坐标，分情况讨论：当k=0时易求m值；当k≠0时写出MN中垂线方程，令y=0得m，变形后用基本函数的范围即可求得m的范围，综合两种情况即可求得m的取值范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分析解决问题的能力，解决该类题目常用的知识为韦达定理、判别式等，应熟练掌握．