Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．

（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，

∴AB⊥平面ACC1A1，

∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，

∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）解：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系
∵ ， ，

设 平面A1BC1，

则 ，取y=4，得 ；

由（Ⅰ）知， 为平面ABC1的法向量，

设二面角A﹣BC1﹣A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，

∴ ．

即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由线面垂直的判定定理可得出AB⊥平面ACC1A1即得A1C⊥AB，再利用线面垂直的判定定理可得证。（Ⅱ）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标进而可求出各个向量的坐标，根据向量的垂直关系求出平面ABC1的法向量又已知平面ABC1的法向量，利用两个法向量所成的角即为二面角的平面角，再根据向量的数量积运算公式求该角的余弦值即可。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．