A
分析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0 时,f(x)=x
2可求得当x<0时的解析式,又x∈[t,t+1],分t+1≤0与t≥0两种情况讨论,从而将不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,转化为关于变量x的二次不等式在x∈[t,t+1]上的恒成立问题来解决.
解答:∵f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0 时,f(x)=x
2∴当x<0,有-x>0,f(-x)=(-x)
2,
∴-f(x)=x
2,即f(x)=-x
2,
∴f(x)=
;
又对任意的x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,
∴当t+1<0,即t<-1,2t≤x+t≤2t+1<-1,此时有:-(x+t)
2≥-2x
2①恒成立,x∈[t,t+1].
①变形为:x
2-2tx-t
2≥0恒成立,x∈[t,t+1].
令g(x)=x
2-2tx-t
2,其对称轴x=t,g(x)在[t,t+1]单调递增,g(x)
min=g(t)=-2t
2<0,故t<-1,不满足题意;
当t>0,0<2t≤x+t≤2t+1,由任意的x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,可得:(x+t)
2≥2x
2②,x∈[t,t+1];
②变形为:x
2-2tx-t
2≤0恒成立,x∈[t,t+1];令g(x)=x
2-2tx-t
2,其对称轴x=t,g(x)在[t,t+1]单调递增,要使x
2-2tx-t
2≤0恒成立,x∈[t,t+1];只需
g(x)
max=g(t+1)=(t+1)
2-2t(t+1)-t
2≤0,即1-2t
2≤0,
解得:t≥
.
综上所述:t≥
.
故选A.
点评:本题考查函数奇偶性的性质,难点在于得到函数解析式后的分类讨论,着重考查学生利用函数的性质解决恒成立问题,属于难题.