Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，x=1是它的一个极值点．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）当x≥3时，关于x的不等式f（x）≤e^2x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=e^x[x²+（2+a）x+a+b]
由题意知f′（1）=0，即3+2a+b=0，b=-2a-3．
f（x）=e^x[x²+（2+a）x-a-3]=e^x（x-1）（x+a+3），
∵x=1是函数的一个极值点，∴-a-3≠1，a≠-4
当a＜-4时，由f′（x）＜0得1＜x＜-a-3
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1），（-a-3，+∞），减区间为（1，-a-3），
当a＞-4时，由f′（x）＜0得-a-3＜x＜1
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-a-3），（1，+∞），减区间为（-a-3，1）．
（II）f（x）≤e^2x，得 x²+ax-2a-3≤e^x，（x-2）a≤e^x-x²+3，
得：
令g（x）=，则
令h（x）=e^x-x+1，则h′（x）=e^x-1．
当x≥3时，e^x-1＞0，即：h（x）≥h（3）=e³-2＞0，
∴g′（x）＞0，即x≥3时，g（x）为增函数，
∴
∴a≤e³-6，又a≠-4，
∴实数a的取值范围是：（-∞，-4）∪（-4，e³-6]．
分析：（I）首要的是求出函数的导数，利用已知函数在x=1处取得极值，可以建立参数a，b的关系，从而利用a表达出b，另外x=1是极值点可得a≠-4，因此要注意对a进行讨论：a＜-4和a＞-4．
（II）对于这类含参数的不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题来求解，由f（x）≤e^2x，得：，因此构造函数是很容易想到的，即：令g（x）=，然后求解即可．
点评：本题考查了函数的导数及其应用，利用导数求函数的单调区间，对函数的极值的研究，求解一类含参不等式的恒成立问题，是一道很好的综合问题，本题涉及的思想方法有分类讨论思想，转会与化归思想，构造法等．