Question

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1，C=

π

3

．
（1）若cos（θ+C）=

5

13

，0＜θ＜π，求cosθ的值．
（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）若cos（θ+C）=

5

13

，0＜θ＜π，可求出sin（θ+

π

3

）=

12

13

，从而cosθ=cos(θ+

π

3

-

π

3

)=

5+12 3

26

（2）化简可得sinAcosB=3sinBcosB即有cosB=0或者sinA=3sinB，从而求得△ABC的面积．

解答： 解：（1）cos（θ+

π

3

）=

5

13

，又

π

3

＜θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

π

2

∴sin（θ+

π

3

）=

1-cos2(θ+ π 3 )

=

1- 25 169

=

144 169

=

12

13

∴cosθ=cos(θ+

π

3

-

π

3

)=cos（θ+

π

3

）cos

π

3

+sin（θ+

π

3

）sin

π

3

=

5

13

×

1

2

+

12

13

×

3

2

=

5+12 3

26

（2）sinC+sin（A-B）=3sin2B
⇒sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B
⇒2sinAcosB=6sinBcosB
∴sinAcosB=3sinBcosB
∴cosB=0或者sinA=3sinB
∴B=

π

2

或者由正弦定理知a=3b
B=

π

2

时S=

1

2

×a×c=

1

2

×c×(c×tanA)=

1

2

c•c•tanA=

1

2

×tan

π

6

=

1

2

×

3

3

=

3

6

；
a=3b时：由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC⇒1=9b²+b²-6b²×

1

2

⇒b2=

1

7

S=

1

2

a•b•sinC=

1

2

×3b2×

3

2

=

3 3

4

×

1

7

=

3 3

28

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形面积公式的应用，属于基础题．