Question

设函数f（x）=msinx+

2

cosx，（m为常数，且m＞0），已知函数f（x）的最大值为2．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）已知a，b，c是△ABC的三边，且b²=ac．若，f(B)=

3

，求B的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意函数f（x）=

m2+2

sin（x+∅），

m2+2

=2，求得m=

2

，从而函数f（x）=

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

）．由 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围，
即可得到函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由题意可得 cosB=

a2+c2-b 2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

1

2

，可得0＜B≤

π

3

，再由 f(B)=

3

=2sin（B+

π

4

），求得 B的值．

解答：（Ⅰ）由题意函数f（x）=msinx+

2

cosx=

m2+2

sin（x+∅），又函数的最大值为2，且m＞0，
则

m2+2

=2，∴m=

2

．
∴函数f（x）=

2

sinx+

2

cosx=2sin（x+

π

4

）．
由 2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈z．
故函数函数f（x）的单调递减区间是[

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈z．
（Ⅱ）∵已知a，b，c是△ABC的三边，且b²=ac，∴cosB=

a2+c2-b 2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
 当且仅当a=c时取等号．
∴1＞cosB≥

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，∴f(B)=

3

=2sin（B+

π

4

），∴B=

π

12

．

点评：本题主要考查正弦函数的增区间，余弦定理的应用，三角函数的最值，属于中档题．