【题目】已知函数.
(1)求函数的的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数
的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数,当
时,
在
上是增函数,在
上是减函数;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)函数的定义域为
,分
和
两种情况分类讨论,即可求解函数的单调性;(2)由(1)知
时,
不成立,故
,又由(1)知
的最大值为
,只需
即可,即可求解
;(3)由(2)知,当
时,有
在
恒成立,且
在
上是减函数,进而
,则
,即
,即可证明结论.
试题解析:(1) 函数的定义域为
,
当时,
在
上是增函数,
当时,若
时,有
,
若时,有
,则
在
上是增函数,在
上是减函数.
(2)由(1)知时,
在
上是增函数,而
不成立,故
,又由(1)知
的最大值为
,要使
恒成立,则
即可,
即,得
.
(3)由(2)知,当时,有
在
恒成立,且
在
上是减函数,
,即
,在
上恒成立,令
,则
,
即,从而
得证.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数);在以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(I)求曲线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(II)若射线与曲线
,
的交点分别为
(
异于原点),当斜率
时,求
的取值范围.
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【题目】为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用
(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)。
(1)求函数的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?
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【题目】已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个项点,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不过原点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同的两点
,线段
的中点为
,直线
与椭圆
交于
,证明:
.
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【题目】如图,已知三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB中点,M为PB中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC。
.
(1)求证:DM∥平面PAC;
(2)求证:平面PAC⊥平面ABC;
(3)求三棱锥M-BCD的体积
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【题目】如图,某生态园将一三角形地块的一角
开辟为水果园种植桃树,已知角
为
,
的长度均大于
米,现在边界
处建围墙,在
处围竹篱笆.
(1)若围墙总 长度为
米,如何围可使得三角形地块
的面积最大?
(2)已知段围墙高
米,
段围墙高
米,造价均为每平方米
元.若围围墙用了
元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
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【题目】 在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40
海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东
+
(其中sin
=
,
)且与点A相距10
海里的位置C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
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