【题目】在三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,满足(2b﹣c)cosA=acosC.
(1)求角A;
(2)若 ,b+c=5,求三角形ABC的面积.
【答案】
(1)解:在三角形ABC中,∵(2b﹣c)cosA=acosC,
由正弦定理得:(2sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC,
化为:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,
sinB≠0,解得cosA= .A∈(0,π).
∴A=
(2)解:由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,
∵ ,b+c=5,
∴13=(b+c)2﹣3cb=52﹣3bc,
化为bc=4,
所以三角形ABC的面积S= sinA= =
【解析】(Ⅰ)(2b﹣c)cosA=acosC,由正弦定理得:(2sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC,再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得cosA= ,A∈(0,π).解得A.(2)由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,把 ,b+c=5,代入可得bc,可得三角形ABC的面积S= sinA.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,∠ABC=60°,PA⊥AD,E,F分别为BC,PE的中点,AF⊥平面PED.
(1)求证:PA⊥平面ABCD
(2)求直线BF与平面AFD所成角的正弦值.
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【题目】[选修4-4:参数方程与极坐标系]
以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为 ,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.
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【题目】已知命题p:函数f(x)= 的图象的对称中心坐标为(1,1);命题q:若函数g(x)在区间[a,b]上是增函数,则有g(a)(b﹣a)< g(x)dx<g(b)(b﹣a)成立.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.¬p∧q
C.p∧¬q
D.¬p∧¬q
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【题目】五面体ABC﹣DEF中,面BCFE是梯形,BC∥EF,面ABED⊥面BCFE,且AB⊥BE,DE⊥BE,AG⊥DE于G,若BE=BC=CF=2,EF=ED=4.
(1)求证:G是DE中点;
(2)求二面角A﹣CE﹣F的平面角的余弦.
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【题目】在直角坐标系中,直线l过定点(﹣1,0),且倾斜角为α(0<α<π),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=cosθ(ρcosθ+8).
(1)写出l的参数方程和C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且 ,求α的值.
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【题目】某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为合格品,小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标 | [70,76) | [76,82) | [82,88) | [88,94) | [94,100] |
芯片甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
芯片乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;
(Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件芯片乙,若是合格品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(I)的前提下,
(i)记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;
(ii)求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.
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