Question

9．a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a+c=4，sinA（1+cosB）=（2-cosA）sinB，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，余弦定理化简已知整理可得：2b=a+c，利用基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵sinA（1+cosB）=（2-cosA）sinB，
∴由正弦定理可得：a（1+cosB）=b（2-cosA），
由余弦定理可得：a（1+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）=b（2-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），整理可得：2b=a+c，
∵a+c=4，可得：b=2，
∴16=（a+c）²≥4ac，解得：ac≤4，（当且仅当a=c=b=2等号成立，此时B=$\frac{π}{3}$），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．