Question

如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在棱上．

（1） 若，求证：直线平面；

（2）是否存在点， 使平面⊥平面，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；

（3）请指出点的位置，使二面角平面角的大小为．

Answer 1

（1）略（2）不存在（3）点在棱上且

解析:

（1）证：连接交于点，             ……（1分）

在平行四边形中，

有，又                                           ……（2分）

∴为的中位线，从而，                         

又平面∴直线平面；                           ……（3分）

（2）解：假设存在点，使平面⊥平面，

过点作于，则平面，

又过作于，则平面，                    ……（5分）

而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故、应重合于点，此时应有，故，

又点在棱上，故，

显然矛盾，故不存在这样的点，使平面⊥平面．          ……（7分）

（3）解：连接，过作于．由（2）中的作法可知

为二面角平面角，                                 ……（8分）

设，则，   

则可得，，

，                                   ……（10分）

∴．∴