Question

（2006•丰台区二模）已知函数f（x）=

x-b

x-1

，它反函数的图象过点（-1，2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设k＞1，解关于x的不等式：f（x）•

x-k

x-1

＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数经过的点，代入函数的解析式，求出b，即可求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）利用k＞1，转化f（x）•

x-k

x-1

＜0为 二次不等式，通过k的范围求法不等式的解集．

解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）依题意函数f（x）过点（2，-1），有-1=

2-b

2-1

⇒b=3⇒f(x)=

x-3

x-1

…（4分）
（Ⅱ） 解

x-3

x-1

•

x-k

x-1

＜0⇒

(x-3)(x-k)

(x-1)2

＜0
原不等式等价于

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

…（6分）
当k＞3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

⇒3＜x＜k…（8分）
当1＜k＜3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

⇒k＜x＜3…（10分）
当k=3时，

x-1≠0 (x-3)(x-k)＜0

⇒无解…（12分）
所以，当k＞3时，不等式的解集为{x|3＜x＜k}；当1＜k＜3时，不等式的解集为{x|k＜x＜3}；
当k=3时，不等式的解集为空集．                      …（13分）

点评：本题考查分式不等式的求法，分类讨论思想的应用，反函数的应用，考查计算能力．