Question

下列命题：
①

∫

1 0

（1-e^x）dx=1-e；
②命题“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x≤3，x²+2x+1≤0”；
③已知x∈R，则“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件；
④已知

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），则

AB

在

CD

上的投影为-2；
⑤已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于x=

π

3

对称，
其中正确的命题是

③

．

Answer 1

分析：对于命题①，直接求积分即可判断真假；命题②是全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，由此可判断命题②的真假；命题③由x＞2能推出x＞1，但由x＞1不能推出x＞2；命题④考查了向量在向量上的投影，首先求出给出的两个向量的数量积，再求出向量

CD

的模，则

AB

在

CD

上的投影可求；命题⑤首先对复合函数求导，根据导函数的最大值是3求出ω的值，的导函数解析式后把x=

π

3

代入函数解析式验证，函数能取最大值则是对称轴，否则不是．

解答：解：

∫

1 0

（1-e^x）dx=(x-ex

)|

1 0

=1-（e¹-e⁰）=2-e，∴命题①错误；
命题“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x＞3，x²+2x+1≤0”，∴命题②错误；
由x＞2，一定有x＞1，反之，由x＞1，不一定有x＞2，如x=

3

2

．
∴“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，∴命题③正确；
由

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），设

AB

与

CD

的夹角为θ，
则

AB

•

CD

=|

AB

||

CD

|cosθ=3×（-2）+4×（-1）=-10，
∵|

CD

|=

(-2)2+(-1)2

=

5

，∴|

AB

|cosθ=

-10

5

=-2

5

．
∴

AB

在

CD

上的投影为-2

5

．∴命题④错误；
由f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2，则f^′（x）=ω•cos（ωx+

π

6

），
∵函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的导函数的最大值为3，∴ω=3．
则f（x）=sin（3x+

π

6

）-2，而f(

π

3

)=sin(3×

π

3

+

π

6

)-2=-

5

2

＞-3，∴函数f（x）的图象不关于x=

π

3

对称．
∴命题⑤错误．
所以正确的命题为③．
故答案为③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了微积分基本定理，训练了复合函数的求导法则，正确理解向量在向量上的投影是解答该题的关键，此题是中档题．