Question

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据题意，点（-2，-1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．
解答：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），
即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y²=2px的准线方程为x=-，则p=4，
则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，
由双曲线的性质，可得b=1；
则c=，则焦距为2c=2；
故选B．
点评：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．