Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC₁与底面ABC所成角的余弦值等于（　　）

• A．

  2 2

  3

• B．

  7

  3

• C．

  6

  3

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：先求出点A₁到底面的距离A₁O的长度，即知点C₁到底面的距离的长度，再求出AC₁的长度，在直角三角形中求AC₁与底面ABC所成角的正弦，再由同角三角函数的关系求出其余弦值即可．

解答：解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都等于a，如图，
则AO=

AB

2sin60°

=

a

3

，
又cos∠A₁AC=

AO

AA1

×cos30°=

1

2

，
∴∠A₁AC=60°，∠AA₁C=120°，
在菱形ACC₁A₁中，AC₁=

3

a，
又点C₁到底面ABC的距离等于点A₁到底面ABC的距离A₁O=

a2-( a 3 )2

=

6

3

a，
∴AC₁与底面ABC所成角的正弦值为

6 a 3

3 a

=

2

3

，
∴AC₁与底面ABC所成角的余弦值为

7

3

．
故选B．

点评：本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．