Question

已知向量

a

=(1， -3)，  

b

=(-2，  m)，且

a

⊥(

a

-

b

)．
（1）求实数m和

a

与

b

的夹角；
（2）当k

a

+

b

与

a

-

b

平行时，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意先求

a

-

b

=（3，-3-m），再由

a

⊥(

a

-

b

)得

a

•(

a

-

b

)=0建立m的方程即可求得m的值，进而由公式求得

a

与

b

的夹角；
（2）先求出k

a

+

b

与

a

-

b

的坐标，再利用向量共线的坐标表示公式即可求得k的值．

解答：解：（1）由题意

a

-

b

=（3，-3-m），由

a

⊥(

a

-

b

)得

a

•(

a

-

b

)=0
所以3+9+3m=0，解得m=-4，即

b

=(-2，  -4)
所以cos＜

a

，

b

＞=

1×(-2)+(-3)×(-4)

12+(-3)2 × (-2)2+(-4)2

=

2

2

又0≤＜

a

，

b

＞≤π，所以

a

与

b

的夹角为

π

4

…5分
（2）k

a

+

b

=（k-2，-3k-4），

a

-

b

=（3，1）
当k

a

+

b

与

a

-

b

平行时，有k-2-3（-3k-4）=0
解得k=-1…9分

点评：本题考查向量的平行与垂直的条件，属于基础题，熟练掌握垂直与平行的条件是解题的关键