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精英家教网如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于F,FE的延长线交DC的延长线于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值是多少?
分析:(1)要证明△BEF∽△CEG,只需要证明∠BFG=∠G,且∠BEF=∠CEG,即可;
(2)由(1)知DG为△DEF中EF边上的高,在Rt△BFE中,∠B已知,EF可求;在Rt△CEG中,CE=3-x,则GC可求,
∴DG=GC+CD可求,∴△DEF的面积S可表示出来;
(3)函数S是二次函数,二次项系数a=-
3
8
<0
,对称轴x=
11
2
,易得x=3时,S取最大值,是3
3
解答:(1)证明:∵EF⊥AB,AB∥DC,∴EF⊥DG.∴∠BFG=∠G=90°.
又∵∠BEF=∠CEG,∴△BEF∽△CEG;
(2)解:由(1)得DG为△DEF中EF边上的高,设BE=x,
在Rt△BFE中,∠B=60°,EF=BEsinB=
3
2
x

在Rt△CEG中,CE=3-x,GC=(3-x)cos60°=
3-x
2
,∴DG=DC+GC=
11-x
2

S=
1
2
EF•DG=-
3
8
x2+
11
3
8
x
,(其中0<x≤3);
(3)解:∵a=-
3
8
<0
,对称轴x=
11
2
>3,∴当0<x≤3时,S随x的增大而增大,
所以,当x=3时,即E与C重合时,取最大值:Smax=3
3
点评:本题考查了相似三角形的证明,三角形的面积公式应用和求二次函数在某一区间上的最值问题,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(  )
A、
AB
=
DC
B、
AD
+
AB
=
AC
C、
AB
-
AD
=
BD
D、
AD
+
CB
=
0

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平行四边形ABCD,
AD
=a
AB
=b
,M为AB的中点,点N在DB上,且
DN
=t
NB

(1)当t=2时,证明:M、N、C三点共线;
(2)若M、N、C三点共线,求实数t的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在平行四边形ABCD中,
AB
=
a
AD
=
b
AN
=3
NC
,则
BN
=
-
1
4
a
+
3
4
b
-
1
4
a
+
3
4
b
(用
a
b
表示)

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在平行四边形ABCD中,若
OA
=
a
OB
=
b
则下列各表述是正确的为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在平行四边形OABC中,点O是原点,点A和点C的坐标分别是(3,0)、(1,3),点D是线段AB上的中点.
(1)求AB所在直线的一般式方程;
(2)求直线CD与直线AB所成夹角的余弦值.

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