Question

4．过椭圆左焦点F₁，且方向向量为$\overrightarrow{v}$=（1，1）的直线与该椭圆相交于点P、Q，P的坐标是（-4，-1），求此椭圆标准方程及线段PQ的长．

Answer 1

分析 设左焦点F₁（-c，0），椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由直线的方向向量可得斜率为1，运用两点的斜率公式可得c=3，代入P的坐标，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程，再由直线y=x+3，代入椭圆方程，求得Q的坐标，由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：设左焦点F₁（-c，0），又P（-4，-1），
由题意可得${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{4-c}$=1，解得c=3，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
代入P的坐标，可得$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=9，
解方程可得a=3$\sqrt{2}$，b=3，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
直线PQ的方程为y=x+3，
代入椭圆方程可得，3x²+12x=0，
即有x=0或-4，即P（-4，-1），Q（0，3），
|PQ|=$\sqrt{（-4-0）^{2}+（-1-3）^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法和弦长的求法，考查待定系数法和联立直线方程和椭圆方程求交点，属于基础题．