Question

如图，在直三棱柱中，底面边长为a的正三角形，AA′=

2

a，求直线AB′与侧面AC′所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：取A'C'的中点D，连接B'D，AD，由线面垂直的性质和判定定理，得到B'D⊥平面AC'，则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，再由解直角三角形的知识，即可得到所成的角．

解答： 解：取A'C'的中点D，连接B'D，AD，
则由底面边长为a的正三角形，
得，B'D=

3

2

a，B'D⊥A'C'，
在直三棱柱中，AA'⊥底面A'B'C'，
则AA'⊥B'D，即有B'D⊥平面AC'，
则∠B'AD即为直线AB′与侧面AC′所成的角，
在直角三角形B'AD中，B'D=

3

2

a，AD=

( 2 a)2+( a 2 )2

=

3

2

a，
则tan∠B'AD=

B′D

AD

=

3

3

，即有∠B'AD=30°．
故直线AB′与侧面AC′所成的角为30°．

点评：本题考查线面垂直的判定和性质定理及运用，考查空间直线与平面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．