精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知指数函数y=g(x)满足g(-2)=
1
4
,又函数f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
是定义域为R的奇函数
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性(无需证明),并求函数f(x)的值域;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
考点:函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合
专题:函数的性质及应用
分析:(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1),由g(-2)=
1
4
,得a-2=
1
4
,解得a=2.故g(x)=2x.则f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
=
-2x+n
2x+1+m
,再根据函数是奇函数,求出m、n的值;
(2)f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=
1
2x+1
-
1
2
,易知f(x)=在R上是减函数.根据2x>0,推出-
1
2
1
2x+1
-
1
2
1
2
,故函数f(x)的值域为(-
1
2
1
2
);
(3)对任意的t∈R不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,则f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2)恒成立,因此t2-2t>k-2t2,化为k<3t2-2t在t∈R上恒成立?k<(3t2-2t)min,此函数为二次函数,求出最值即可.
解答: 解:(1)设g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(-2)=
1
4
,∴a-2=
1
4
,解得a=2.∴g(x)=2x
∴f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
=
-2x+n
2x+1+m

∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴-20+n=0,∴n=1,∴f(x)=
-2x+1
2x+1+m

又f(-1)=f(1),∴
-2-1+1
2-1+1+m
=-
-21+1
21+1+m
,解得m=2
∴f(x)=
-2x+1
2x+1+2

(2)f(x)=
-2x+1
2x+1+2
=
1
2x+1
-
1
2
,∴f(x)=在R上是减函数.
∵2x>0,∴2x+1>1,∴0<
1
2x+1
<1
,∴-
1
2
1
2x+1
-
1
2
1
2

∴函数f(x)的值域为(-
1
2
1
2
);
(3)∵对任意的t∈R不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2)恒成立,
∴t2-2t>k-2t2,化为k<3t2-2t在t∈R上恒成立?k<(3t2-2t)min,t∈R.
令g(t)=3t2-2t=3(t-
1
3
2-
1
3
,∴g(t)min=-
1
3

∴k<-
1
3
,即实数k的取值范围是(-∞,-
1
3
).
点评:本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知tanα=2,且sinα<0,则cosα的值等于
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M={a,a+d,a+2d},P={a,aq,aq2},其中a≠0,a,d,q∈R,且M=P,求实数q的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}的前n项和Sn=n2
(1)设bn=(-1)n-1anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn
(2)是否存在以a1为首项,公比为q(0<q<5,q∈N*)的等比数列{ank},k∈N*,使得数列{ank}中每一项都是数列{an}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

某商品在30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为:P=
t+10,(1≤t≤24)
-t+100,(25≤t≤30)
(t∈N*),该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q=-t+40(1≤t≤30,t∈N*),
(1)当1≤t≤24,t∈N*,哪几天日销售金额超过525元;
(2)求日销售金额的最大值及取得最大值时的t.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若“x∈A“是“x∈B“的充分条件,但不是必要条件,则A与B的关系是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设P是线段P1P2上的一个三等分点,且P1(x1,y1),P2(x2,y2),求点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

侧棱长都为
3
的四棱锥的底面是以2为边长的正方形,其俯视图如图所示,则该四棱锥正视图的面积为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题错误的是(  )
A、命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是若x≥1或x≤-1,则x2≥1
B、“am2<bm2”是”a<b”的充分不必要条件
C、命题p:存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D、命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题

查看答案和解析>>

同步练习册答案