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精英家教网如图,
ADB
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若
EM
=λ1
MB
EN
=λ2
NB
,求证:λ1+λ2
为定值.
分析:(Ⅰ)直接以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,再根据动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上,可以求得|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2
22+12
=2
5
>|AB|=4、曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆进而求出a,b,c得到曲线C的方程;
(Ⅱ):先设M,N,E点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y0),分析出过点B的直线l必与椭圆C相交;再根据
EM
=λ1
MB
,求出点M的坐标代入椭圆方程,同理求出点N的坐标代入椭圆方程,两个方程相结合即可求出结论.
解答:解:(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2
22+12
=2
5
>|AB|=4、
∴曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2
5
,∴a=
5
,c=2,b=1、
∴曲线C的方程为
x2
5
+y2=1(5分)
(Ⅱ):设M,N,E点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),E(0,y0),
又易知B点的坐标为(2,0)、且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交、
EM
=λ1
MB
,∴(x1,y1-y0)=λ1(2-x1,-y1)、
x1=
2λ1
1+λ1
y1=
y0
1+λ1
、(7分)
将M点坐标代入到椭圆方程中得:
1
5
(
2λ1
1+λ1
)2+(
y0
1+λ1
)2=1

去分母整理,得λ12+10λ1+5-5y02=0、(10分)
同理,由
EN
=λ2
NB
可得:λ22+10λ2+5-5y02=0、
∴λ1,λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根,
∴λ12=-10、(12分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量知识的运用.解决第二问的关键在于根据
EM
=λ1
MB
,求出点M的坐标代入椭圆方程,利用其整理后的结论来解题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,
ADB
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设
DM
DN
=λ,求λ的取值范围.

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精英家教网如图,ADB为半圆,AB为直径,O为圆心,
AB
OD
=0
,Q为AB为的中点,|AB|=4,某曲线C过点Q,动点P在曲线C上,且|PA|+|PB|的值不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线C的方程;
(2)过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,求△OMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设
|DM||DN|
=λ,求λ的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分14分)

如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

   (I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

   (II)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,

        为定值。

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